Roberto Villaflor, profesor del Departamento de Matemática, desarrolla estudio para comprender mejor este problema fundamental en geometría algebraica.
Estudiar la estructura de Hodge en variedades tóricas proyectivas, trabajo que busca no solo avanzar en un área clave de la matemática, sino también fomentar la colaboración con destacados centros de investigación en Europa y América, es el principal objetivo del proyecto Fondecyt de Iniciación 2025, adjudicado al Dr. Roberto Villaflor Loyola, académico de la Universidad Técnica Federico Santa María.
El proyecto, titulado Hodge Structures and Birational Geometry of Complete Intersections of Toric Varieties, se inserta en la intersección de la teoría de Hodge y la geometría birracional, dos áreas con gran actividad científica. Su objetivo es estudiar intersecciones completas cuasi-suaves en variedades tóricas proyectivas simpliciales y abordar problemas como el principio de Torelli, la conjetura de Hodge y el análisis de componentes de Noether-Lefschetz en espacios de moduli de superficies de tipo general.
Las variedades tóricas ofrecen una ventaja para este estudio, ya que poseen coordenadas explícitas que permiten analizar de manera concreta su estructura de Hodge. No obstante, determinar estos espacios sigue siendo un desafío matemático complejo, incluso cuando se conocen las ecuaciones que los definen.
Si bien el proyecto no contempla aplicaciones directas en otras disciplinas, sus resultados podrían impactar la física teórica, especialmente en la teoría de cuerdas. “Muchas de las variedades que estudiamos son de Calabi-Yau de dimensión 4, relevantes en este campo, donde además existen conjeturas abiertas sobre el espacio de ciclos de Hodge, como la tadpole conjecture”, explicó Villaflor. Además, para llevar a cabo la investigación será necesario desarrollar algoritmos computacionales capaces de identificar nuevas factorizaciones de ecuaciones polinomiales en varias variables.
Proyección académica y desarrollo del estudio
El desarrollo de este proyecto permitirá fortalecer redes internacionales de colaboración con instituciones como el Instituto de Altos Estudios Científicos (IHES) en Francia, la Universidad de Hannover en Alemania y la Universidad Nacional Autónoma de México, además de universidades chilenas como la Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Universidad de Valparaíso, Pontificia Universidad Católica de Chile, Universidad de Chile, Universidad de Talca y Universidad de Concepción. También facilitará la organización de encuentros académicos como el Workshop AGREGA, que reúne especialistas en geometría algebraica.
En cuanto a la formación de nuevos investigadores, Villaflor destacó que el proyecto permitirá integrar a estudiantes en esta línea de trabajo a través de ayudantías y seminarios. “Es un área que requiere conocimientos en topología, álgebra, geometría y aritmética, por lo que la idea es introducirlos de manera progresiva para que puedan desarrollar sus propias investigaciones en memorias de ingeniería, magíster o doctorado”, comentó.
A futuro, la investigación buscará ampliar el conocimiento sobre ciclos algebraicos y de Hodge en variedades proyectivas, con el potencial de generar nuevas herramientas matemáticas. “Este trabajo podría abrir camino a nuevas teorías en el área”, señaló. También explorará cómo estas estructuras afectan otros aspectos de las variedades, como su aritmética, un campo en constante evolución.
“Estoy muy feliz de haber recibido la adjudicación del proyecto, esto me ayudará a seguir mi investigación, afianzar redes de colaboración internacional y también me permitirá financiar a futuros estudiantes que quieran integrarse al proyecto. Espero de esta manera seguir contribuyendo al avance de la matemática en Chile y América Latina”, expresó Villaflor.
